«K12/K13» 107. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 107. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Formelsammlung zur Klausur

0.0.1.1.1 ↑ Formeln zum Photon (mit f$f$ als Photonenfrequenz)

0.0.1.1.1.1 ↑ Photonenenergie

E = h f = \frac{h c}{\lambda}; \quad \left[E\right] = 1 \,\mathrm{Js} \cdot 1 \,\mathrm{s}^{-1} = 1 \,\mathrm{J};$E=hf=\frac{hc}{\lambda };\left[E\right]=1\text{Js}\cdot 1{\text{s}}^{-1}=1\text{J};$

Deutung: Es findet ein Energietransfer zwischen Licht und Materie statt (die Richtung ist nicht angegeben), bei der Licht der Frequenz f$f$/Wellenlänge \lambda$\lambda$ Energie der Menge E$E$ austauscht.

Größenordnung bei normalen Licht: Einige Elektronenvolt.

0.0.1.1.1.2 ↑ Photonenmasse

m(c) = \frac{h f}{c^2}; \quad \left[m(c)\right] = 1 \,\frac{\mathrm{Js} \cdot \mathrm{s}^{-1}}{\left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)^2} = \frac{\mathrm{Nm} \cdot \mathrm{s}^2}{\mathrm{m}^2} = 1 \,\mathrm{kg};$m\left(c\right)=\frac{hf}{c^2};\left[m\left(c\right)\right]=1\frac{\text{Js}\cdot {\text{s}}^{-1}}{{\left(\frac{\text{m}}{\text{s}}\right)}^2}=\frac{\text{Nm}\cdot {\text{s}}^2}{{\text{m}}^2}=1\text{kg};$

Herleitung durch Umformung von h f = E(c) = m(c) c^2$hf=E\left(c\right)=m\left(c\right)c^2$ nach m(c)$m\left(c\right)$.

Nicht: Ein Photon hat eine Masse von m(c) = \frac{h f}{c^2}$m\left(c\right)=\frac{hf}{c^2}$.

Sondern: m(c)$m\left(c\right)$ ergibt nur im Kontext eines Impulsübertrags Sinn, also beispielsweise in der Berechnung des Photonenimpulses.

0.0.1.1.1.3 ↑ Photonenimpuls

p = \frac{h f}{c}; \quad \left[p\right] = 1 \,\frac{\mathrm{Js} \cdot \mathrm{s}^{-1}}{\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}} = \frac{\mathrm{Nm} \cdot \mathrm{s}}{\mathrm{m}} = \mathrm{Ns};$p=\frac{hf}{c};\left[p\right]=1\frac{\text{Js}\cdot {\text{s}}^{-1}}{\frac{\text{m}}{\text{s}}}=\frac{\text{Nm}\cdot \text{s}}{\text{m}}=\text{Ns};$

Herleitung über p = m v = m c$p=mv=mc$.

Deutung: Es findet ein Impulsübertrag zwischen Licht und Materie statt (die Richtung ist nicht angegeben), bei der Licht der Frequenz f$f$ Impuls der Menge p$p$ austauscht.

0.0.1.1.2 ↑ Formeln zum lichtelektrischen Effekt (mit f$f$ als Frequenz des einfallenden Lichts)

0.0.1.1.2.4 ↑ Versuch ohne Gegenspannung

E_e = h f - E_{\text{Austritt}}; \quad \left[E_e\right] = 1 \,\mathrm{Js} \cdot \mathrm{s}^{-1} = 1 \,\mathrm{J};$E_e=hf-E_{\text{Austritt}};\left[E_e\right]=1\text{Js}\cdot {\text{s}}^{-1}=1\text{J};$

Genügt die Lichtquantenenergie h f$hf$ nicht, um die Austrittsenergie aufzubringen (h f < E_{\text{Austritt}}$hf<E_{\text{Austritt}}$), so gibt das Elektron die Energie wieder ab, beispielsweise in Form von Schwingungsenergie an den Festkörper.

Ansonsten wird E_e$E_e$ als kinetische Energie genutzt.

0.0.1.1.2.5 ↑ Versuch mit Gegenspannung

E_e = h f - E_{\text{Austritt}} = e U_{\text{Gegen}}; \quad \left[E_e\right] = 1 \,\mathrm{Js};$E_e=hf-E_{\text{Austritt}}=e{U}_{\text{Gegen}};\left[E_e\right]=1\text{Js};$

Mindestens zwei Versuche mit unterschiedlichen Lichtfrequenzen sind notwendig, um das PLANKsche Wirkungsquantum zu h = \frac{\Delta E}{\Delta f} = e \frac{\Delta U_{\text{Gegen}}}{\Delta f}$h=\frac{\Delta E}{\Delta f}=e\frac{\Delta U_{\text{Gegen}}}{\Delta f}$ zu bestimmen.

Nicht alle Elektronen nutzen ihre gesamte kinetische Energie zur Überwindung der Gegenspannung, daher ist die Gegenspannung zur Herausfilterung der "schnellsten" (energiereichsten) Elektronen notwendig.

0.0.1.1.3 ↑ Formeln zum Compton-Effekt

0.0.1.1.3.6 ↑ Kosinussatz (allgemein)

c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b \cdot \cos\varphi;$c^2=a^2+b^2-2ab\cdot cos\varphi ;$

Wobei a$a$, b$b$ und c$c$ die Längen eines beliebigen ebenen Dreiecks sind und \varphi$\varphi$ der Winkel an der c$c$ gegenüberliegenden Ecke ist.

a$a$, b$b$ und c$c$ können beliebig ausgetauscht werden, sofern man nicht vergisst, auch den Winkel auszutauschen.

0.0.1.1.3.7 ↑ Kosinussatz zum Compton-Effekt

p_e^2 = p_{\gamma}^2 + {p_{\gamma}'}^2 - 2 p_{\gamma} {p_{\gamma}}' \cdot \cos\varphi; \quad \left[p_e^2\right] = \left(1 \,\mathrm{Ns}\right)^2;$p_e^2=p_{\gamma }^2+{p_{\gamma }^{\prime }}^2-2p_{\gamma }{p_{\gamma }}^{\prime }\cdot cos\varphi ;\left[p_e^2\right]={\left(1\text{Ns}\right)}^2;$

0.0.1.1.3.8 ↑ COMPTONwellenlänge beim Stoß mit Elektronen

\lambda_{\text{C}} = \frac{h}{m_{e_0} c}; \quad \left[\lambda_{\text{C}}\right] = 1\,\frac{\mathrm{Js}}{\mathrm{kg} \cdot \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}} = 1 \,\frac{\mathrm{kg} \cdot \mathrm{m} \cdot \mathrm{s}^2}{\mathrm{s}^2 \cdot \mathrm{kg}} = \mathrm{m};${\lambda }_{\text{C}}=\frac{h}{m_{e_0}c};\left[{\lambda }_{\text{C}}\right]=1\frac{\text{Js}}{\text{kg}\cdot \frac{\text{m}}{\text{s}}}=1\frac{\text{kg}\cdot \text{m}\cdot {\text{s}}^2}{{\text{s}}^2\cdot \text{kg}}=\text{m};$

0.0.1.1.3.9 ↑ Wellenlängenänderung beim Stoß mit Elektronen

\Delta \lambda = \frac{h}{m_{e_0} c} \left(1 - \cos\varphi\right); \quad \left[\Delta \lambda\right] = 1 \,\mathrm{m};$\Delta \lambda =\frac{h}{m_{e_0}c}\left(1-cos\varphi \right);\left[\Delta \lambda \right]=1\text{m};$

(\varphi$\varphi$: Winkel zwischen einfallendem Licht und gestreutem Licht)

Überraschend: \Delta \lambda$\Delta \lambda$ unabhängig von der Originalfrequenz!

Minimale Wellenlängenänderung bei \varphi = 0^\circ$\varphi =0^{\circ }$: \Delta \lambda = 0 \,\mathrm{nm};$\Delta \lambda =0\text{nm};$

Maximale Wellenlängenänderung bei \varphi = 90^\circ$\varphi =90^{\circ }$: \Delta \lambda = \frac{h}{m_{e_0} c} \approx +0{,}0024 \,\mathrm{nm} = +2{,}4 \,\mathrm{pm};$\Delta \lambda =\frac{h}{m_{e_0}c}\approx +0,0024\text{nm}=+2,4\text{pm};$

Das Licht verliert beim "Stoß" Energie; mit E = h f$E=hf$ nimmt die Frequenz ab; die Wellenlänge wird größer.

0.0.1.1.4 ↑ Formeln zur Röntgenbremsstrahlung

f_{\text{max}} = \frac{e U}{h}; \quad \left[f_{\text{max}}\right] = 1 \,\frac{\mathrm{C} \cdot \mathrm{V}}{\mathrm{Js}} = 1 \,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{Js}} = 1 \,\mathrm{Hz};$f_{\text{max}}=\frac{eU}{h};\left[f_{\text{max}}\right]=1\frac{\text{C}\cdot \text{V}}{\text{Js}}=1\frac{\text{J}}{\text{Js}}=1\text{Hz};$

Herleitung über e U = h f_{\text{max}}$eU=h{f}_{\text{max}}$.