«K12/K13» 54. und 55. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 54. und 55. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Graphen von U(t)$U\left(t\right)$, I(t)$I\left(t\right)$, E_L(t)$E_L\left(t\right)$ und E_C(t)$E_C\left(t\right)$ des ungedämpften Schwingkreises

• U_C(t) = \frac{Q(t)}{C} = \frac{Q_0}{C} \sin \omega t;$U_C\left(t\right)=\frac{Q\left(t\right)}{C}=\frac{Q_0}{C}sin\omega t;$

  E_C(t) = \frac{1}{2} C U^2(t) = \frac{1}{2} C \, \frac{Q_0^2}{C^2} \sin^2 \omega t = \frac{1}{2} \frac{Q_0^2}{C} \sin^2 \omega t;$E_C\left(t\right)=\frac{1}{2}C{U}^2\left(t\right)=\frac{1}{2}C\frac{Q_0^2}{C^2}{sin}^2\omega t=\frac{1}{2}\frac{Q_0^2}{C}{sin}^2\omega t;$

  P_C(t) = \dot E_C(t) = \frac{1}{2} \frac{Q_0^2}{C} \cdot 2 \sin \omega t \cos \omega t \cdot \omega = \frac{1}{2} \frac{Q_0^2}{C} \omega \cdot \sin 2 \omega t;$P_C\left(t\right)={Ė}_C\left(t\right)=\frac{1}{2}\frac{Q_0^2}{C}\cdot 2sin\omega tcos\omega t\cdot \omega =\frac{1}{2}\frac{Q_0^2}{C}\omega \cdot sin2\omega t;$

• I_C(t) = I_L(t) = I(t) = Q_0 \omega \cos \omega t;$I_C\left(t\right)=I_L\left(t\right)=I\left(t\right)=Q_0\omega cos\omega t;$

  E_L(t) = \frac{1}{2} L I^2(t) = \frac{1}{2} L \, Q_0^2 \omega^2 \cos^2 \omega t;$E_L\left(t\right)=\frac{1}{2}L{I}^2\left(t\right)=\frac{1}{2}L{Q}_0^2{\omega }^2{cos}^2\omega t;$

  P_L(t) = \dot E_L(t) = -\frac{1}{2} L Q_0^2 \omega^2 \cdot 2 \cos \omega t \sin \omega t \cdot \omega = -\frac{1}{2} L Q_0^2 \omega^3 \sin 2 \omega t;$P_L\left(t\right)={Ė}_L\left(t\right)=-\frac{1}{2}L{Q}_0^2{\omega }^2\cdot 2cos\omega tsin\omega t\cdot \omega =-\frac{1}{2}L{Q}_0^2{\omega }^{3}sin2\omega t;$

mit \omega = \sqrt{\frac{1}{LC}};$\omega =\sqrt{\frac{1}{LC}};$

0.0.1.2 ↑ Quantitative Graphen von P_C(t)$P_C\left(t\right)$ und P_L(t)$P_L\left(t\right)$

Aufgabestellung: Zeichnung der quantitativen Graphen von P_C(t)$P_C\left(t\right)$ und P_L(t)$P_L\left(t\right)$ mit L = 600 \,\mathrm{H}$L=600\text{H}$ und C = 40 \,\mu\mathrm{F}$C=40\mu \text{F}$.

Dies ist nicht möglich, da Q_0$Q_0$, die initiale Ladung, die auf dem Kondensator gespeichert ist, nicht gegeben ist.

0.0.1.3 ↑ Kurzer Text zum Versuchsergebnis

Der Graph zeigte eine gedämpfte Schwingung. Die "tatsächliche" Periodendauer T'$T^{\prime }$ stimmte mit der theoretisch berechneten Periodendauer T = 2\pi \sqrt{LC}$T=2\pi \sqrt{LC}$ erstaunlich gut überein; die Abweichung betrug nur 0{,}04 \,\mathrm{s}$0,04\text{s}$!

Die Amplitude der Schwingung nimmt mit fortschreitender Zeit streng monoton ab; dieses Abnehmen kann – wie bei Relaxationsprozessen üblich – durch die e$e$-Funktion beschrieben werden:

U(t_0) = U_0 e^{-\frac{t_0}{\tau}};$U\left(t_0\right)=U_0{e}^{-\frac{t_0}{\tau }};$

Auflösen nach \tau$\tau$ und Einsetzen eines beliebigen Werts für t_0$t_0$ ergibt:

U(t_0) = U_0 e^{-\frac{t_0}{\tau}};$U\left(t_0\right)=U_0{e}^{-\frac{t_0}{\tau }};$ ⇒ \ln \frac{U(t_0)}{U_0} = -\frac{t_0}{\tau};$ln\frac{U\left(t_0\right)}{U_0}=-\frac{t_0}{\tau };$ ⇒ \tau = -\frac{t_0}{\ln \frac{U(t_0)}{U_0}} \approx 0{,}94 \,\mathrm{s};$\tau =-\frac{t_0}{ln\frac{U\left(t_0\right)}{U_0}}\approx 0,94\text{s};$

Dieses Ergebnis deckt sich mit dem Versuchsergebnis. (Selbst­ver­ständ­lich tut es das – wir haben ja Werte des Versuchsergebnisses eingesetzt, um \tau$\tau$ zu erhalten.)

Interessant ist auch, dass der Graph auch schon vor dem Öffnen des Schalters S$S$ (siehe Blatt) – also zu Zeitpunkten, an denen noch keine Schwingung stattfindet – eine ungedämpfte Schwingung kleiner Amplitude zeigt. Die Skalierung des Graphen lässt leider keine all zu genaue Bestimmung der Periodendauer und damit der Frequenz dieser Grundschwingung zu, aber näherungsweise ergibt sich 0{,}14 \,\mathrm{s}$0,14\text{s}$ als Periodendauer und 7{,}2 \,\mathrm{Hz}$7,2\text{Hz}$ als Frequenz...

(Benötigte Zeit: 26 min + 40 min)