«11C» 60. Hausaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 60. Hausaufgabe

0.0.1.1 ↑ Buch Seite 164, Aufgabe 22c mit W_{\mathrm{f}}$W_{\text{f}}$ und Graph

Bestimme die Wertemengen der folgenden Funktion mit Hilfe der Extremwerte und des Verhaltens an Unendlichkeitsstellen sowie für x \to \pm\infty$x\to \pm \infty$!

\mathrm{f}: x \mapsto \mathrm{f}(x) = \dfrac{x^2}{x^4 + 1}; \quad D_{\mathrm{f}} = \mathds{R};$\text{f}:x\mapsto \text{f}\left(x\right)=\frac{x^2}{x^4+1};D_{\text{f}}=R;$

\mathrm{f}(x) \to 0$\text{f}\left(x\right)\to 0$ für x \to \infty;$x\to \infty ;$

\mathrm{f}'(x) = \dfrac{\left(x^4 + 1\right) \cdot 2x - x^2 \cdot 4x^3}{\left(x^4 + 1\right)^2} = \dfrac{2x^5 + 2x - 4x^5}{\left(x^4 + 1\right)^2} = \dfrac{-2x^5 + 2x}{\left(x^4 + 1\right)} = -2x\dfrac{x^4 - 1}{\left(x^4 + 1\right)^2};${\text{f}}^{\prime }\left(x\right)=\frac{\left(x^4+1\right)\cdot 2x-x^2\cdot 4x^3}{{\left(x^4+1\right)}^2}=\frac{2x^5+2x-4x^5}{{\left(x^4+1\right)}^2}=\frac{-2x^5+2x}{\left(x^4+1\right)}=-2x\frac{x^4-1}{{\left(x^4+1\right)}^2};$

Vorzeichenwechselanalyse gibt:

• \mathrm{f}$\text{f}$ ist sms in \left]-\infty, -1\right]$\left]-\infty ,-1\right]$ und \left[0, 1\right]$\left[0,1\right]$;

• \mathrm{f}$\text{f}$ ist smf in \left]-1, 0\right[$\left]-1,0\right[$ und \left]1, \infty\right[$\left]1,\infty \right[$;

• P_{\mathrm{HOP}}(-1, \frac{1}{2});$P_{\text{HOP}}\left(-1,\frac{1}{2}\right);$

• P_{\mathrm{HOP}}(1, \frac{1}{2});$P_{\text{HOP}}\left(1,\frac{1}{2}\right);$

• P_{\mathrm{TIP}}(0, 0);$P_{\text{TIP}}\left(0,0\right);$

⇒ W_{\mathrm{f}} = \left[ 0, \frac{1}{2} \right];$W_{\text{f}}=\left[0,\frac{1}{2}\right];$