«11C» Zusammengesetzte Funktionen und Kettenregel «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ Zusammengesetzte Funktionen und Kettenregel

Sei \mathrm{f}(x) = \mathrm{h}(\mathrm{g}(x)) = \mathrm{h}(u)$\text{f}\left(x\right)=\text{h}\left(\text{g}\left(x\right)\right)=\text{h}\left(u\right)$ mit u = \mathrm{g}(x)$u=\text{g}\left(x\right)$ und u_0 = \mathrm{g}(x_0);$u_0=\text{g}\left(x_0\right);$

Differenzenquotient an der Stelle x_0$x_0$:

\mathrm{D}(x_0) = \dfrac{\mathrm{f}(x) - \mathrm{f}(x_0)}{x - x_0} = \dfrac{\mathrm{h}(\mathrm{g}(x)) - \mathrm{h}(\mathrm{g}(x_0))}{x - x_0} = \dfrac{\mathrm{h}(u) - \mathrm{h}(u_0)}{x - x_0} = \dfrac{\mathrm{h}(u) - \mathrm{h}(u_0)}{u - u_0} \cdot \dfrac{u - u_0}{x - x_0} = \dfrac{\mathrm{h}(u) - \mathrm{h}(u_0)}{u - u_0} \dfrac{\mathrm{g}(x) - \mathrm{g}(x_0)}{x - x_0};$\text{D}\left(x_0\right)=\frac{\text{f}\left(x\right)-\text{f}\left(x_0\right)}{x-x_0}=\frac{\text{h}\left(\text{g}\left(x\right)\right)-\text{h}\left(\text{g}\left(x_0\right)\right)}{x-x_0}=\frac{\text{h}\left(u\right)-\text{h}\left(u_0\right)}{x-x_0}=\frac{\text{h}\left(u\right)-\text{h}\left(u_0\right)}{u-u_0}\cdot \frac{u-u_0}{x-x_0}=\frac{\text{h}\left(u\right)-\text{h}\left(u_0\right)}{u-u_0}\frac{\text{g}\left(x\right)-\text{g}\left(x_0\right)}{x-x_0};$

Für x \to x_0$x\to x_0$ folgt:

\mathrm{f}'(x_0) = \lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{\mathrm{h}(u) - \mathrm{h}(u_0)}{u - u_0} \dfrac{\mathrm{g}(x) - \mathrm{g}(x_0)}{x - x_0} = \mathrm{h}'(u_0) \cdot \mathrm{g}'(x_0);${\text{f}}^{\prime }\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{lim}\frac{\text{h}\left(u\right)-\text{h}\left(u_0\right)}{u-u_0}\frac{\text{g}\left(x\right)-\text{g}\left(x_0\right)}{x-x_0}={\text{h}}^{\prime }\left(u_0\right)\cdot {\text{g}}^{\prime }\left(x_0\right);$

0.0.1.1 ↑ Die Kettenregel

Ist \mathrm{g}(x)$\text{g}\left(x\right)$ an der Stelle x_0$x_0$ und \mathrm{h}(u)$\text{h}\left(u\right)$ and der Stelle u_0 = \mathrm{g}(x_0)$u_0=\text{g}\left(x_0\right)$ diffbar, so ist auch die Verkettung \mathrm{f}(x) = \mathrm{h}(\mathrm{g}(x))$\text{f}\left(x\right)=\text{h}\left(\text{g}\left(x\right)\right)$ an der Stelle x_0$x_0$ diffbar und es gilt:

\mathrm{f}'(x_0) = \mathrm{h}'(u_0) \cdot \mathrm{g}'(x_0) = \mathrm{h}'(\mathrm{g}(x_0)) \cdot \mathrm{g}'(x_0);${\text{f}}^{\prime }\left(x_0\right)={\text{h}}^{\prime }\left(u_0\right)\cdot {\text{g}}^{\prime }\left(x_0\right)={\text{h}}^{\prime }\left(\text{g}\left(x_0\right)\right)\cdot {\text{g}}^{\prime }\left(x_0\right);$

0.0.1.2 ↑ Ableitung von Quotienten

\mathrm{f}(x) = \frac{1}{v(x)}; \Rightarrow \mathrm{f}'(x) = -\frac{v'(x)}{v(x)^2};$\text{f}\left(x\right)=\frac{1}{v\left(x\right)};\Rightarrow {\text{f}}^{\prime }\left(x\right)=-\frac{v^{\prime }\left(x\right)}{v{\left(x\right)}^2};$

\left[\dfrac{u(x)}{v(x)}\right]' = \left[ u(x) \cdot \dfrac{1}{v(x)} \right] = \dfrac{u'(x)}{v(x)} + \dfrac{-u(x) \cdot v'(x)}{v(x)^2} = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2};${\left[\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)}\right]}^{\prime }=\left[u\left(x\right)\cdot \frac{1}{v\left(x\right)}\right]=\frac{u^{\prime }\left(x\right)}{v\left(x\right)}+\frac{-u\left(x\right)\cdot v^{\prime }\left(x\right)}{v{\left(x\right)}^2}=\frac{u^{\prime }\left(x\right)v\left(x\right)-u\left(x\right)v^{\prime }\left(x\right)}{v{\left(x\right)}^2};$

Kurz: \left(\frac{u}{v}\right)'${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }$ "=$=$" \dfrac{u'v - v'u}{v^2};$\frac{u^{\prime }v-v^{\prime }u}{v^2};$ (Quotientenregel)

Merkregel: "Z/W = (N*AZ - Z*AN)/N^2"

0.0.1.3 ↑ Die Regel von L'Hospital

Mittelwertsatz: In \left]a, b\right[$\left]a,b\right[$ gibt es mindestens eine Stelle x_0$x_0$ mit \mathrm{f}'(x_0) = \dfrac{\mathrm{f}(b) - \mathrm{f}(a)}{b - a}${\text{f}}^{\prime }\left(x_0\right)=\frac{\text{f}\left(b\right)-\text{f}\left(a\right)}{b-a}$.

⇒ \mathrm{f}(b) = \mathrm{f}(a) + \left(b - a\right) \mathrm{f}'(x_0);$\text{f}\left(b\right)=\text{f}\left(a\right)+\left(b-a\right){\text{f}}^{\prime }\left(x_0\right);$

Mit b = a + h;$b=a+h;$

⇒ \mathrm{f}(a + h) = \mathrm{f}(a) + h \mathrm{f}'(x_0);$\text{f}\left(a+h\right)=\text{f}\left(a\right)+h{\text{f}}^{\prime }\left(x_0\right);$

x_0 = a + \vartheta h; \quad$x_0=a+\vartheta h;$ (0 < \vartheta < 1$0<\vartheta <1$)

⇒ \mathrm{f}(a + h) = \mathrm{f}(a) + h \mathrm{f}'(a + \vartheta h);$\text{f}\left(a+h\right)=\text{f}\left(a\right)+h{\text{f}}^{\prime }\left(a+\vartheta h\right);$

Regel von L'Hospital: \mathrm{f}(x) = \dfrac{\mathrm{u}(x)}{\mathrm{v}(x)};$\text{f}\left(x\right)=\frac{\text{u}\left(x\right)}{\text{v}\left(x\right)};$

Gesucht: \lim\limits_{x \to a} \mathrm{f}(x)$\underset{x\to a}{lim}\text{f}\left(x\right)$, wobei \mathrm{u}(a) = \mathrm{v}(a) = 0;$\text{u}\left(a\right)=\text{v}\left(a\right)=0;$

Falls \lim\limits_{x \to a} \dfrac{\mathrm{u}'(x)}{\mathrm{v}'(x)}$\underset{x\to a}{lim}\frac{{\text{u}}^{\prime }\left(x\right)}{{\text{v}}^{\prime }\left(x\right)}$ existiert, so gilt

\lim\limits_{x \to a} \dfrac{\mathrm{u}(x)}{\mathrm{v}(x)} = \dfrac{\mathrm{u}'(x)}{\mathrm{v}'(x)};$\underset{x\to a}{lim}\frac{\text{u}\left(x\right)}{\text{v}\left(x\right)}=\frac{{\text{u}}^{\prime }\left(x\right)}{{\text{v}}^{\prime }\left(x\right)};$

Beweis: Aus dem Mittelwertsatz folgt

\lim\limits_{x \to a} \dfrac{\mathrm{u}(x)}{\mathrm{v}(x)} = \lim\limits_{x \to a} \dfrac{\mathrm{u}(a + h)}{\mathrm{v}(a + h)} = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{\mathrm{u}(x) + h \mathrm{u}'(x)(a + \vartheta_1 h)}{\mathrm{v}(x) + h \mathrm{v}'(x)(a + \vartheta_2 h)} = \lim\limits_{h \to 0} \dfrac{h \mathrm{u}'(x)(a + \vartheta_1 h)}{h \mathrm{v}'(x)(a + \vartheta_2 h)} = \dfrac{\mathrm{u}'(x)}{\mathrm{v}'(x)} = \lim\limits_{x \to a} \dfrac{\mathrm{u}(x)}{\mathrm{v}(x)};$\underset{x\to a}{lim}\frac{\text{u}\left(x\right)}{\text{v}\left(x\right)}=\underset{x\to a}{lim}\frac{\text{u}\left(a+h\right)}{\text{v}\left(a+h\right)}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{\text{u}\left(x\right)+h{\text{u}}^{\prime }\left(x\right)\left(a+{\vartheta }_{1}h\right)}{\text{v}\left(x\right)+h{\text{v}}^{\prime }\left(x\right)\left(a+{\vartheta }_{2}h\right)}=\underset{h\to 0}{lim}\frac{h{\text{u}}^{\prime }\left(x\right)\left(a+{\vartheta }_{1}h\right)}{h{\text{v}}^{\prime }\left(x\right)\left(a+{\vartheta }_{2}h\right)}=\frac{{\text{u}}^{\prime }\left(x\right)}{{\text{v}}^{\prime }\left(x\right)}=\underset{x\to a}{lim}\frac{\text{u}\left(x\right)}{\text{v}\left(x\right)};$