«11C» 1. Schulaufgabe «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ 1. Schulaufgabe

Geschrieben am 21.10.2004

1. (4 Punkte für die Rechnung, 4 auf den Graph)

Gegeben ist die Funktion f(x) = \left|x + \frac{1}{2}\right| - \left|\frac{1}{2} - \frac{1}{2}x\right|$f\left(x\right)=\left|x+\frac{1}{2}\right|-\left|\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x\right|$ mit \mathds{D}_f = \left[ -5; 5 \right]$D_f=\left[-5;5\right]$.

Bestimme eine betragsfreie Darstellung von f(x)$f\left(x\right)$ und zeichne den Graphen für x \in \mathds{D}_f$x\in D_f$.

⇒ f(x) = \begin{cases} {} -\frac{1}{2}x - 1 & \text{f"ur } \mathds{D}_f \ni x \leq -\frac{1}{2}; \\ {} \frac{3}{2}x & \text{f"ur } -\frac{1}{2} < x \leq 1; \\ {} \frac{1}{2}x + 1 & \text{f"ur } \mathds{D}_f \ni x > 1; \end{cases}$f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}x-1\hfill & \text{f”ur }{D}_f\ni x\le -\frac{1}{2};\hfill \\ \frac{3}{2}x\hfill & \text{f”ur }-\frac{1}{2}<x\le 1;\hfill \\ \frac{1}{2}x+1\hfill & \text{f”ur }{D}_f\ni x>1;\hfill \end{array}\right.$

2.

f: x \mapsto y = -x^2 + 2x + 6; \mathds{D}_f = \mathds{R};$f:x\mapsto y=-x^2+2x+6;D_f=R;$

a) (3 Punkte)

Bestimme einen möglichst großen Teilbereich \mathds{D}_{f_1}$D_{f_1}$ von \mathds{D}_f$D_f$ so, dass f$f$ in \mathds{D}_{f_1}$D_{f_1}$ umkehrbar ist und die Null in \mathds{D}_{f_1}$D_{f_1}$ liegt. (Scheitel bestimmen!)

f'(x) = -2x + 2 = 0; \Longrightarrow x = 1; \Longrightarrow S(1; 7);$f^{\prime }\left(x\right)=-2x+2=0;\Rightarrow x=1;\Rightarrow S\left(1;7\right);$

⇒ \mathds{D}_{f_1} = \left] -\infty; 1 \right];$D_{f_1}=\left]-\infty ;1\right];$

b) (6 Punkte)

Bestimme Term, Definitionsbereich und Wertemenge der Umkehrfunktion f_1^{-1}(x)$f_1^{-1}\left(x\right)$ von f$f$ in diesem Teilbereich \mathds{D}_{f_1}$D_{f_1}$.

0 = -x^2 + 2x + 6 - y; \Longrightarrow x = 1 \pm \frac{7 - y};$0=-x^2+2x+6-y;\Rightarrow x=1\pm \frac{7-y}{;}$

⇒ {} f_1^{-1}(x) = 1 - \sqrt{7 - x}; \\ {} \mathds{D}_{f_1^{-1}} = \mathds{W}_{f_1} = \left] -\infty; 7 \right]; \\ {} \mathds{W}_{f_1^{-1}} = \mathds{D}_{f_1} = \left] -\infty; 1 \right];$f_1^{-1}\left(x\right)=1-\sqrt{7-x};D_{f_1^{-1}}=W_{f_1}=\left]-\infty ;7\right];W_{f_1^{-1}}=D_{f_1}=\left]-\infty ;1\right];$

c) (7 Punkte)

Gegeben ist zusätzlich die Geradenschar g_a: y = ax + 7$g_a:y=ax+7$.

Zeige, dass genau zwei Geraden aus der Schar den Graphen von f$f$ (mit \mathds{D}_f = \mathds{R}$D_f=R$) berühren! Bestimme dazu die Gleichungen der Berührgeraden.

ax + 7 = -x^2 + 2x + 6; \Longrightarrow 0 = -x^2 + x\left(2 - a\right) - 1; \Longrightarrow D = 4 - 4a + a^2 - 4 \cdot -1 \cdot -1 = a^2 - 4a = 0;$ax+7=-x^2+2x+6;\Rightarrow 0=-x^2+x\left(2-a\right)-1;\Rightarrow D=4-4a+a^2-4\cdot -1\cdot -1=a^2-4a=0;$

⇒ a_1 = 0; a_2 = 4;$a_1=0;a_2=4;$

⇒ g_0: y = 7; g_4: y = 4x + 7;$g_0:y=7;g_4:y=4x+7;$

3.

f: x \mapsto y = \frac{2x}{2\left|x\right| + 3}; \mathds{D}_f = \mathds{R};$f:x\mapsto y=\frac{2x}{2\left|x\right|+3};D_f=R;$

a) (3 Punkte)

Zeige: f$f$ ist symmetrisch. (Nachweis und Bestimmung der Symmetrieart!)

f(-x) = -\frac{2x}{2\left|-x\right| + 3} = -f(x);$f\left(-x\right)=-\frac{2x}{2\left|-x\right|+3}=-f\left(x\right);$ ⇒ Symmetrie zum Ursprung;

b) (6 Punkte)

Untersuche f$f$ für x \geq 0$x\ge 0$ auf Monotonie. Welche Monotonieeigenschaft hat f$f$ demnach im ganzen Definitionsbereich \mathds{D}_f$D_f$? (Symmetrie!)

x_1, x_2 \geq 0; x_1 < x_2; \Longrightarrow f(x_2) - f(x_1) = \frac{2x_2}{2x_2 + 3} - \frac{2x_1}{2x_1 + 3} = \frac{4x_1x_2 + 6x_2 - 4x_1x_2 - 6x_1}{\mathrm{HN}} = 6 \frac{x_2 - x_1}{\mathrm{HN}} gt 0;$x_1,x_2\ge 0;x_1<x_2;\Rightarrow f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=\frac{2x_2}{2x_2+3}-\frac{2x_1}{2x_1+3}=\frac{4x_1{x}_2+6x_2-4x_1{x}_2-6x_1}{\text{HN}}=6\frac{x_2-x_1}{\text{HN}}gt0;$ ⇒ f$f$ ist für x \geq 0$x\ge 0$ streng monoton steigend.

Symmetrie; ⇒ f$f$ ist in ganz \mathds{D}_f$D_f$ streng monoton steigend.

c) (3 Punkte)

Begründe, dass f$f$ in \mathds{D}_f$D_f$ beschränkt ist.

[Ergebnisse aus a) und b) sollen hier verwendet werden!]

y = \frac{2x}{2x + 3}; \Longrightarrow 2xy + 3y = 2x; \Longrightarrow x\left(2y - 2\right) = -3y; \Longrightarrow x = -\frac{3y}{2y - 2} gt 0; \Longrightarrow y \neq 1; -\frac{3y}{2y - 2} \geq 0; \Longrightarrow y \leq 0; \Longrightarrow \left(y \leq 0 \cap y \geq 0\right) \cup \left(y \geq 0 \cap y \leq 1\right);$y=\frac{2x}{2x+3};\Rightarrow 2xy+3y=2x;\Rightarrow x\left(2y-2\right)=-3y;\Rightarrow x=-\frac{3y}{2y-2}gt0;\Rightarrow y\ne 1;-\frac{3y}{2y-2}\ge 0;\Rightarrow y\le 0;\Rightarrow \left(y\le 0\cap y\ge 0\right)\cup \left(y\ge 0\cap y\le 1\right);$

⇒ \mathds{W}_f = \left] -1; 1 \right[;$W_f=\left]-1;1\right[;$