«11C» Die Erweiterung der reellen Zahlen «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ Die Erweiterung der reellen Zahlen

0.0.1.1 ↑ Mangel von \mathds{R}$R$

7x + 3 = 0; \Rightarrow x = -\frac{3}{7};$7x+3=0;\Rightarrow x=-\frac{3}{7};$ ⇒ Einführung der Bruchzahlen

x^2 = -1$x^2=-1$ hat keine Lösung in \mathds{R}$R$.

0.0.1.2 ↑ Versuchsweise Einführung von Lösungen:

Neue Zahl \mathrm{i}$\text{i}$ mit der Eigenschaft

\mathrm{i}^2 = -1;${\text{i}}^2=-1;$

Zahlen der Form z = a + \mathrm{i}b$z=a+\text{i}b$ mit a, b \in \mathds{R}$a,b\in R$ heißen komplex.

BTW, Wichtig: Schreibe nie, niemals, \mathrm{i} = \sqrt{-1}$\text{i}=\sqrt{-1}$!

a$a$ (b$b$) heißt Realteil (Imaginärteil) von z$z$ (\mathrm{Re}(z)$\text{Re}\left(z\right)$ (\mathrm{Im}(z)$\text{Im}\left(z\right)$)).

Die Zahlen z$z$ bilden die Menge \mathds{C}$C$ der komplexen Zahlen.

Summe komplexer Zahlen: z_1 + z_2 = a_1 + \mathrm{i}b_1 + a_2 + \mathrm{i}b_2 = \left(a_1 + a_2\right) + \mathrm{i}\left(b_1 + b_2\right);$z_1+z_2=a_1+\text{i}{b}_1+a_2+\text{i}{b}_2=\left(a_1+a_2\right)+\text{i}\left(b_1+b_2\right);$

Produkt komplexer Zahlen: z_1 \cdot z_2 = \left(a_1 + \mathrm{i}b_1\right) \left(a_2 + \mathrm{i}b_2\right) = \left(a_1a_2 - b_1b_2\right) + \mathrm{i}\left(a_1b_2 + a_2b_2\right);$z_1\cdot z_2=\left(a_1+\text{i}{b}_1\right)\left(a_2+\text{i}{b}_2\right)=\left(a_1{a}_2-b_1{b}_2\right)+\text{i}\left(a_1{b}_2+a_2{b}_2\right);$

Kehrwerte: \frac{1}{z} = \frac{1}{a + \mathrm{i}b} = \frac{1}{a+\mathrm{i}b} \cdot \frac{a-\mathrm{i}b}{a-\mathrm{i}b} = \frac{a-\mathrm{i}b}{a^2+b^2} = \frac{a}{a^2+b^2} + \mathrm{i}\frac{-b}{a^2+b^2};$\frac{1}{z}=\frac{1}{a+\text{i}b}=\frac{1}{a+\text{i}b}\cdot \frac{a-\text{i}b}{a-\text{i}b}=\frac{a-\text{i}b}{a^2+b^2}=\frac{a}{a^2+b^2}+\text{i}\frac{-b}{a^2+b^2};$

Bemerkung: Die beiden komplexen Zahlen z = a + \mathrm{i}b$z=a+\text{i}b$ und z^* = a - \mathrm{i}b$z^{\ast }=a-\text{i}b$ heißen zueinander konjugiert komplex.

0.0.1.3 ↑ Kritik des Varfahrens

Z.B.: In \mathds{R}$R$ gibt es kein Inverses zu 0$0$ bezüglich der Multiplikation.

Definiere \mathrm{j} = 0^{-1}; \Rightarrow 0 \cdot \mathrm{j} = 1;$\text{j}=0^{-1};\Rightarrow 0\cdot \text{j}=1;$

Dann gilt:

• \left(0 + 0\right) \cdot \mathrm{j} = 0\cdot\mathrm{j} + 0\cdot\mathrm{j} = 1 + 1 = 2;$\left(0+0\right)\cdot \text{j}=0\cdot \text{j}+0\cdot \text{j}=1+1=2;$

• \left(0 + 0\right) \cdot \mathrm{j} = 0 \cdot \mathrm{j} = 1;$\left(0+0\right)\cdot \text{j}=0\cdot \text{j}=1;$

⇒ WIDERSPRUCH!

"Wurzelziehen": Siehe 4. Hausaufgabe.

0.0.1.4 ↑ Eigenschaften des Konjugierens

z = x + \mathrm{i}y; \Rightarrow z^* = x - \mathrm{i}y;$z=x+\text{i}y;\Rightarrow z^{\ast }=x-\text{i}y;$

1. \left(z^*\right)^* = z;${\left(z^{\ast }\right)}^{\ast }=z;$

2. \left(z_1 \pm z_2\right)^* = z_1^* \pm z_2^*;${\left(z_1\pm z_2\right)}^{\ast }=z_1^{\ast }\pm z_2^{\ast };$

3. \left(z_1 \cdot z_2\right) = z_1^* \cdot z_2^*;$\left(z_1\cdot z_2\right)=z_1^{\ast }\cdot z_2^{\ast };$

   Entsprechend gilt: \left(\frac{z_1}{z_2}\right)^* = \frac{z_1^*}{z_2^*} \text{ f"ur } z_2 \neq 0;${\left(\frac{z_1}{z_2}\right)}^{\ast }=\frac{z_1^{\ast }}{z_2^{\ast }}\text{ f”ur }{z}_2\ne 0;$