«11C» Komplexe Abbildungen «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ Komplexe Abbildungen

0.0.1.1 ↑ Einfache komplexe Abbildungen

In \mathds{R}$R$: x \mapsto y = 2x;$x\mapsto y=2x;$

In \mathds{C}$C$: z \mapsto w = 2z;$z\mapsto w=2z;$

0.0.2 ↑ Allgemein: Die Abbildung z \mapsto w = az; \quad a \in \mathds{C};$z\mapsto w=az;a\in C;$

Polarform:

a = \left|a\right| E(\alpha); \\$a=\left|a\right|E\left(\alpha \right);$ z = \left|z\right| E(\varphi);$z=\left|z\right|E\left(\varphi \right);$

w = az = \left|a\right| E(\alpha) \cdot \left|z\right| E(\varphi) = \left|a\right|\left|z\right| E(\alpha + \varphi);$w=az=\left|a\right|E\left(\alpha \right)\cdot \left|z\right|E\left(\varphi \right)=\left|a\right|\left|z\right|E\left(\alpha +\varphi \right);$

Ergebnis: Die Abbildung z \mapsto w = az$z\mapsto w=az$ (a \neq 0$a\ne 0$) ist eine zentrische Streckung mit anschließender Drehung (Drehstreckung). Das Zentrum ist 0$0$, Streckungsfaktor ist \left|a\right|$\left|a\right|$, Drehwinkel ist \mathrm{arc}\, a$\text{arc}a$.

Spezielle Fälle:

• \left|a\right| = 1;$\left|a\right|=1;$ (Reine Drehung um \mathrm{arc}\, a$\text{arc}a$)

• a \in \mathds{R};$a\in R;$ (Reine zentrische Steckung (mit positivem Faktor; Drehwinkel 0^\circ$0^{\circ }$ oder 180^\circ$180^{\circ }$)

0.0.2.1 ↑ Eigenschaften der linearen Abbildung z \mapsto w = az + b; \quad a \neq 0;$z\mapsto w=az+b;a\ne 0;$

Jede Abbildung der Form z \mapsto w = az + b$z\mapsto w=az+b$ kann aufgefasst werden als Hintereinanderschaltung zweier Abbildungen \mathrm{f}$\text{f}$ und \mathrm{g}$\text{g}$:

Dabei ist \mathrm{f}: z \mapsto v = az$\text{f}:z\mapsto v=az$ eine Drehstreckung um den Ursprung mit Streckungsfaktor \left|a\right|$\left|a\right|$ und Drehwinkel \mathrm{arc}\, a$\text{arc}a$ und \mathrm{g}: v \mapsto w = v + b$\text{g}:v\mapsto w=v+b$ eine Translation um den komplexen Vektor b$b$.

Schreibweise: w = \mathrm{g}(v) = \mathrm{g}(\mathrm{f}(z)) = \mathrm{g}\circ\mathrm{f}(z); \quad$w=\text{g}\left(v\right)=\text{g}\left(\text{f}\left(z\right)\right)=\text{g}\circ \text{f}\left(z\right);$ ("\mathrm{g}$\text{g}$ nach \mathrm{f}$\text{f}$")

Damit ist jede Abbildung der Form w = az + b$w=az+b$ eine Ähnlichkeitsabbildung. Sie verändert nicht den Drehsinn (gleichsinnige Ähnlichkeitsabbildung).

Für \left|a\right| = 1$\left|a\right|=1$ handelt es sich um eine gleichsinnige Kongruenzabbildung.

0.0.2.2 ↑ Noch eine konjugiert lineare Abbildung

z \mapsto w = \mathrm{i}z^* + \left(-2 + 2\mathrm{i}\right);$z\mapsto w=\text{i}{z}^{\ast }+\left(-2+2\text{i}\right);$

\left(x + y\mathrm{i}\right) = \mathrm{i}\left(x - y\mathrm{i}\right) + \left(-2 + 2\mathrm{i}\right); \Rightarrow x - y + 2 = \mathrm{i}\left(x - y + 2\right);$\left(x+y\text{i}\right)=\text{i}\left(x-y\text{i}\right)+\left(-2+2\text{i}\right);\Rightarrow x-y+2=\text{i}\left(x-y+2\right);$

Nur erfüllt für x - y + 2 = 0; \Rightarrow y = x + 2;$x-y+2=0;\Rightarrow y=x+2;$ (Fixpunktgerade!)

• Was passiert mit der Geraden \mathrm{g}: y = x$\text{g}:y=x$?

  \mathrm{g}: z = x + \mathrm{i}x;$\text{g}:z=x+\text{i}x;$

  \mathrm{g}': w = \mathrm{i}z^* - 2 + 2\mathrm{i} = \mathrm{i}\left(x - x\mathrm{i}\right) - 2 + 2\mathrm{i} = \mathrm{i}x + x - 2 + 2\mathrm{i} = x - 2 + \mathrm{i}\left(x + 2\right) = u + \mathrm{i}\left(u + 4\right);${\text{g}}^{\prime }:w=\text{i}{z}^{\ast }-2+2\text{i}=\text{i}\left(x-x\text{i}\right)-2+2\text{i}=\text{i}x+x-2+2\text{i}=x-2+\text{i}\left(x+2\right)=u+\text{i}\left(u+4\right);$

• Was passiert mit der Geraden \mathrm{h}: y = -x$\text{h}:y=-x$?

  \mathrm{h}: z = x - \mathrm{i}x;$\text{h}:z=x-\text{i}x;$

  \mathrm{h}': w = \mathrm{i}z^* - 2 + 2\mathrm{i} = \mathrm{i}\left(x + \mathrm{i}x\right) - 2 + 2\mathrm{i} = \mathrm{i}x - x - 2 + 2\mathrm{i} = -x - 2 + \mathrm{i}\left(x + 2\right) = -\left(x + 2\right) + \mathrm{i}\left(x + 2\right) = -u + \mathrm{i}u = v - \mathrm{i}v;${\text{h}}^{\prime }:w=\text{i}{z}^{\ast }-2+2\text{i}=\text{i}\left(x+\text{i}x\right)-2+2\text{i}=\text{i}x-x-2+2\text{i}=-x-2+\text{i}\left(x+2\right)=-\left(x+2\right)+\text{i}\left(x+2\right)=-u+\text{i}u=v-\text{i}v;$

Die Gerade wird insgesamt auf sich abgebildet (nicht punktweise), man spricht von einer Fixgeraden.

0.0.2.3 ↑ Geraden in der komplexen Zahlenebene

x, y, a, m \in \mathds{R};$x,y,a,m\in R;$

\mathrm{Re}$\text{Re}$-Achse: y = 0; \Rightarrow z = x;$y=0;\Rightarrow z=x;$

\mathrm{Im}$\text{Im}$-Achse: x = 0; \Rightarrow z = \mathrm{i}y;$x=0;\Rightarrow z=\text{i}y;$

Parallele zur \mathrm{Re}$\text{Re}$-Achse durch (0, a)$\left(0,a\right)$: y = a; \Rightarrow z = x + \mathrm{i}a;$y=a;\Rightarrow z=x+\text{i}a;$

Parallele zur \mathrm{Im}$\text{Im}$-Achse durch (a, 0)$\left(a,0\right)$: x = a; \Rightarrow z = a + \mathrm{i}y;$x=a;\Rightarrow z=a+\text{i}y;$

Parallele zu y = x$y=x$ durch (0, a)$\left(0,a\right)$: y = x + a; \Rightarrow z = x + \mathrm{i}\left(x + a\right);$y=x+a;\Rightarrow z=x+\text{i}\left(x+a\right);$

Allgemein: y = mx + a; \Rightarrow z = x + \mathrm{i}\left(mx + a\right);$y=mx+a;\Rightarrow z=x+\text{i}\left(mx+a\right);$

0.0.2.4 ↑ Kreisgleichung

Mittelpunkt M(0, 0)$M\left(0,0\right)$

\left|z\right| = r; \Rightarrow x^2 + y^2 = r^2;$\left|z\right|=r;\Rightarrow x^2+y^2=r^2;$

\left|z\right|^2 = zz^* = r^2;${\left|z\right|}^2=z{z}^{\ast }=r^2;$ (Betragsfreie Darstellung)

Mittelpunkt M(m_x, m_y)$M\left(m_x,m_y\right)$, d.h. m = m_x + \mathrm{i}m_y$m=m_x+\text{i}{m}_y$

\left|z - m\right| = r; \\$\left|z-m\right|=r;$ \left(z - m\right)\left(z - m\right)^* = r^2; \\$\left(z-m\right){\left(z-m\right)}^{\ast }=r^2;$ \left(z - m\right)\left(z^* - m^*\right) = r^2; \\$\left(z-m\right)\left(z^{\ast }-m^{\ast }\right)=r^2;$ zz^* - m^*z - mz^* + mm^* = r^2; \\$z{z}^{\ast }-m^{\ast }z-m{z}^{\ast }+m{m}^{\ast }=r^2;$ ⇒ zz^* - m^*z - mz^* = r^2 - mm^* = \gamma; \quad \gamma \in \mathds{R}; \\$z{z}^{\ast }-m^{\ast }z-m{z}^{\ast }=r^2-m{m}^{\ast }=\gamma ;\gamma \in R;$

Kreisgleichung: zz^* - m^*z - mz^* = \gamma$z{z}^{\ast }-m^{\ast }z-m{z}^{\ast }=\gamma$ mit \gamma = r^2 - mm^*;$\gamma =r^2-m{m}^{\ast };$