«11C» Geradlinige Bewegungen «PDF», «POD»

0.0.1 ↑ Geradlinige Bewegungen

0.0.1.1 ↑ Die gleichförmige Bewegung

Kennzeichen: In gleichen Zeitabschnitten \Delta t$\Delta t$ werden gleiche Wege \Delta x$\Delta x$ zurückgelegt.

\text{Weg} = x \sim t = \text{Zeit} \Longrightarrow \frac{x}{t} = \mathrm{const.} =: v;$\text{Weg}=x\sim t=\text{Zeit}\Rightarrow \frac{x}{t}=\text{const.}=:v;$

Die Geschwindigkeit einer gleichförmigen Bewegung ist der konstante Quotient \frac{x}{t}$\frac{x}{t}$.

v = \frac{x}{t}$v=\frac{x}{t}$ und v = \frac{\Delta x}{\Delta t};$v=\frac{\Delta x}{\Delta t};$

Graphische Darstellung: v = \frac{x}{t}; \Longrightarrow x = v \cdot t$v=\frac{x}{t};\Rightarrow x=v\cdot t$

v = \frac{\Delta x}{\Delta y};$v=\frac{\Delta x}{\Delta y};$

Die Steigung der Ursprungsgeraden ist ein Maß für die Geschwindigkeit.

Die Fläche unter dem t$t$-v$v$-Diagramm ist ein Maß für den zurückgelegten Weg x$x$.

0.0.1.2 ↑ Die gleichmäßig beschleunigte Bewegung

Kennzeichen: Die Geschwindigkeit ändert sich proportional zur Zeit.

v \sim t;$v\sim t;$

Die Geschwindkeit nimmt bei festen Zeitintervallen \Delta t$\Delta t$ stets um den selben Betrag zu. ⇒ \Delta v \sim \Delta t;$\Delta v\sim \Delta t;$

Es gilt: \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v}{t} = \mathrm{const.};$\frac{\Delta v}{\Delta t}=\frac{v}{t}=\text{const.};$

Der konstante Quotient \frac{\Delta v}{\Delta t}$\frac{\Delta v}{\Delta t}$ wird als Beschleunigung a$a$ der gleichmäßig beschleunigten Bewegung bezeichnet.

Einheit der Beschleunigung: 1 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2};$1\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2};$

Umrechnung:

• 1 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} = \frac{1000\mathrm{m}}{3600\mathrm{s}} = \frac{1}{3,6} \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}};$1\frac{\text{km}}{\text{h}}=\frac{1000\text{m}}{3600\text{s}}=\frac{1}{3,6}\frac{\text{m}}{\text{s}};$

• 1 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}} = 3,6 \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}};$1\frac{\text{m}}{\text{s}}=3,6\frac{\text{km}}{\text{h}};$

\frac{v}{t} = a = \mathrm{const.};$\frac{v}{t}=a=\text{const.};$

⇒ Bewegungsgleichung: v\left(t\right) = a \cdot t;$v\left(t\right)=a\cdot t;$ (Geschwindigkeit-Zeit-Funktion)

s = \overline{v} \cdot t = \frac{v}{2} t = \frac{at}{2} t = \frac{at^2}{2};$s=\overline{v}\cdot t=\frac{v}{2}t=\frac{at}{2}t=\frac{a{t}^2}{2};$

⇒ x\left(t\right) = \frac{1}{2} a \cdot t^2;$x\left(t\right)=\frac{1}{2}a\cdot t^2;$

Weitere Herleitung: Die Fläche \triangle O t v$△Otv$ ist ein Maß für die Strecke. ⇒ x\left(t\right) = \frac{1}{2} t v = \frac{1}{2} a t^2;$x\left(t\right)=\frac{1}{2}tv=\frac{1}{2}a{t}^2;$ (Dreiecksfläche).

Der Graph ist eine Parabel!

Zusätzlich: {} \left.\begin{array}{l} {} v^2 = a^2 t^2; \Longrightarrow t^2 = \frac{v^2}{a^2}; \\ {} x = \frac{1}{2} a t^2; {} \end{array}\right\} {} \Longrightarrow v^2 = 2 a x;$\left.\begin{array}{c}{v}^2=a^2{t}^2;\Rightarrow t^2=\frac{v^2}{a^2};\hfill \\ x=\frac{1}{2}a{t}^2;\hfill \end{array}\right\}\Rightarrow v^2=2ax;$

Trägheitssatz von NEWTON:

Ein Körper behält seinen Bewegungszustand bei, wenn auf ihn keine Kräfte wirken, d.h., er bleibt in Ruhe oder bewegt sich geradlinig gleichförmig weiter.

Messung:

• t_1 = 1,4731\mathrm{s};$t_1=1,4731\text{s};$ \Delta t_1 = 0,0119\mathrm{s};$\Delta t_1=0,0119\text{s};$ x_1 = 0,303\mathrm{m};$x_1=0,303\text{m};$

• t_2 = 2,0863\mathrm{s};$t_2=2,0863\text{s};$ \Delta t_2 = 0,0083\mathrm{s};$\Delta t_2=0,0083\text{s};$ x_2 = 0,607\mathrm{m};$x_2=0,607\text{m};$

• t_3 = 2,5552\mathrm{s};$t_3=2,5552\text{s};$ \Delta t_2 = 0,0067\mathrm{s};$\Delta t_2=0,0067\text{s};$ x_3 = 0,906\mathrm{m};$x_3=0,906\text{m};$

1. Auswertung nach a = \frac{v}{t}$a=\frac{v}{t}$:

• a_1 = \frac{v_1}{t_1} = 0,28 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2};$a_1=\frac{v_1}{t_1}=0,28\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2};$

• a_2 = \frac{v_2}{t_2} = 0,29 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2};$a_2=\frac{v_2}{t_2}=0,29\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2};$

• a_3 = \frac{v_3}{t_3} = 0,29 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2};$a_3=\frac{v_3}{t_3}=0,29\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2};$

2. Auswertung nach a = \frac{2x}{t^2}$a=\frac{2x}{t^2}$:

• a_1 = \frac{2x_1}{t_1^2} = 0,279 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2};$a_1=\frac{2x_1}{t_1^2}=0,279\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2};$

• a_2 = \frac{2x_2}{t_2^2} = 0,279 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2};$a_2=\frac{2x_2}{t_2^2}=0,279\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2};$

• a_3 = \frac{2x_3}{t_3^2} = 0,278 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2};$a_3=\frac{2x_3}{t_3^2}=0,278\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2};$

0.0.1.3 ↑ Geradlinige Bewegungen mit Anfangsgeschwindigkeit

Bewegungsleichungen:

• v(t) = v_0 + a \cdot t;$v\left(t\right)=v_0+a\cdot t;$

• x(t) = v_0 \cdot t + \frac{1}{2}at^2;$x\left(t\right)=v_0\cdot t+\frac{1}{2}a{t}^2;$

• v(t)^2 - v_0^2 = 2ax;$v{\left(t\right)}^2-v_0^2=2ax;$

0.0.1.4 ↑ Zum Bremsweg

v^2 - v_0^2 = 2ax_{Br}; \Longrightarrow x_{Br} = -\frac{v_0^2}{2a}; a = -\frac{v_0^2}{2x};$v^2-v_0^2=2a{x}_{Br};\Rightarrow x_{Br}=-\frac{v_0^2}{2a};a=-\frac{v_0^2}{2x};$

0.0.1.5 ↑ Faustregeln aus der Fahrschule

Z$Z$: Zahl, die am Tacho abgelesen wird. D.h.: v_0 = Z \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}};$v_0=Z\frac{\text{km}}{\text{h}};$

Reaktionsweg: Faustregel: x_R = \frac{Z}{10} \cdot 3 \mathrm{m} = 0,3 \cdot Z \mathrm{m};$x_R=\frac{Z}{10}\cdot 3\text{m}=0,3\cdot Z\text{m};$

"Schrecksekunde" t_R = 1\mathrm{s};$t_R=1\text{s};$ ⇒ x_R = v \cdot t_R = 0,28 \cdot Z \mathrm{m};$x_R=v\cdot t_R=0,28\cdot Z\text{m};$

Bremsweg: x_{Br} = \left( \frac{Z}{10} \right)^2 \mathrm{m};$x_{Br}={\left(\frac{Z}{10}\right)}^2\text{m};$

exakt: x_{Br} = - \frac{v_0^2}{2a};$x_{Br}=-\frac{v_0^2}{2a};$

Wie groß ist a$a$ in der Faustregel? a = -\frac{v_0^2}{2x_{Br}} \approx -4 \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2};$a=-\frac{v_0^2}{2x_{Br}}\approx -4\frac{\text{m}}{{\text{s}}^2};$